Matikář - kategorie úloh

Úlohy: 1–17 / 17

Přehled ročníků

1. Hodnota výrazu

Vypočítej hodnotu výrazu y = 3x² – 2x + 3 pro:

a) x = -2,

b) x = 1,

c) x = 0,

d) x = 0,50.

Řešení

a) 19

b) -2

c) 3

d) 2,75

2. Grafy lineárních funkcí

Jsou dány grafy lineárních funkcí.

Určete zpaměti funkční předpis.

Řešení

a) $f \left (x \right ) = 1$

b) $f \left (x \right ) = 3x - 1$

c) $f \left (x \right ) = \frac{3}{2}x - 1$

d) $f \left (x \right ) = - \frac{2}{3}x$

3. Grafy lineárních funkcí

Jsou dány grafy lineárních funkcí.

Určete zpaměti funkční předpis.

Řešení

a) $f \left (x \right ) = - 2x + 2$

b) $f \left (x \right ) = \frac{1}{2}x - 3$

c) $f \left (x \right ) = \frac{1}{3}x$

d) $f \left (x \right ) = x - 2$

4. Průběh funkce

Je dána funkce $f(x)=\frac{x^2+4x-5}{x^2-9}$

Určete:

a) definiční obor funkce f,

b) obor hodnot funkce f,

c) průsečík grafu funkce f s osou y (pokud existuje),

d) průsečíky grafu funkce f s osou x (pokud existují),

e) zda je funkce f sudá nebo lichá,

f) zda je funkce f periodická,

g) zda je funkce f prostá,

h) zda je funkce f ohraničená zdola nebo shora,

i) intervaly spojitosti funkce f,

j) první derivaci funkce,

k) druhou derivaci funkce,

l) stacionární body,

m) lokální extrémy funkce,

n) v kterých intervalech funkce f roste,

o) v kterých intervalech funkce f klesá,

p) inflexní body,

q) intervaly konvexnosti funkce,

r) intervaly konkávnosti funkce,

s) asymptoty funkce (pokud existují),

t) limity na hranicích definičního oboru,

u) načrtněte graf funkce.

Řešení

a) Definiční obor $D_{f}= \left ( -\infty; -3 \right ) \cup \left (-3; 3 \right ) \cup \left (3; \infty \right )$

b) Obor hodnot $H_{f}= R$

c) Průsečík s osou y je $P_{y}= \left [0;\frac{2}{3} \right ]$ .

d) Průsečíky s osou x jsou $P_{x_{1}} \left [-5;0 \right ]$ , $P_{x_{2}} \left [1;0 \right ]$ .

e) Funkce f není ani sudá ani lichá.

f) Funkce f není periodická.

g) Funkce f není prostá.

h) Funkce f není ohraničená zdola nebo shora.

i) Intervaly spojitosti funkce f jsou $\left ( -\infty; -3 \right )$ , $\left (-3; 3 \right )$ , $\left (3; \infty \right )$ .

j) ${y}'=-\frac{4 \left( x^{2} +2x + 9 \right )}{\left( x - 3 \right )^{2}\left( x + 3 \right )^{2}}$

k) ${y}''= -\frac{8 \left( x^{5} +5x^{4} + 18x^{3} - 18x^{2} - 243x - 81 \right )}{\left( x - 3 \right )^{4}\left( x + 3 \right )^{4}}$

l) Funkce f nemá stacionární body.

m) Funkce f nemá lokální extrémy.

n) Funkce f není rostoucí na žádném intervalu.

o) Funkce f je klesající na intervalech $\left ( -\infty; -3 \right )$ , $\left (-3; 3 \right )$ , $\left (3; \infty \right )$ .

p) Inflexní bod funkce f je $I = \left [-0,345;0,394 \right ]$ .

q) Funkce f je konvexní na intervalech $\left (-3; -0,345 \right ) \cup \left (3; \infty \right )$ .

r) Funkce f je konkávní na intervalech $\left ( -\infty; -3 \right ) \cup \left (-0,345; 3 \right )$ .

s) Asymptoty funkce f jsou $y=1$ , $x=-3$ a $x=3$ .

t) Limity na hranicích def. oboru jsou
$\lim_{x \to - \infty}=1$ , $\lim_{x \to - 3^{-}}= - \infty$ , $\lim_{x \to - 3^{+}}= \infty$ , $\lim_{x \to 3^{-}}= - \infty$ , $\lim_{x \to 3^{+}}= \infty$ , $\lim_{x \to \infty}= 1$ .

5. Lineární funkce s absolutní hodnotou

Narýsujte graf funkce:

c) $y=\left |1+\frac{x}{2}\right |-\left |x\right |-\left |1-\frac{2x}{3}\right |+2$

Řešení

6. Kvadratické funkce s absolutní hodnotou

Načrtněte graf funkce:

a) $y=\left |x^{2}+2x-3\right |$

b) $y=\left |\frac{1}{2}x^{2}-1\right |-\left |x\right |$

c) $y=x^{2}-\left |x^{2}-3\right |$

Řešení

7. Kvadratické funkce s absolutní hodnotou

Narýsujte graf funkce:

a) $y=\left (\frac{x}{4}\right )^{2}-\left |\left(\frac{x}{2}+1\right )^{2}-1\right |$

b) $y=\left |\left (x-1\right )^{2}-1\right |-\left(\frac{x}{2}\right )^{2}$

c) $y=\left |x^{2}-x-2\right |-x^{2}$

Řešení

8. Lineární funkce s absolutní hodnotou

Narýsujte graf funkce:

a) $y=\left |4-2x\right |+x-1$

b) $y=\left |x-2\right |-2$

c) $y=\frac{x}{2}+3-\left |x-2\right |$

d) $y=2x-3-\left |x-2\right |$

Řešení

9. Funkce s absolutní hodnotou

Narýsujte graf funkce.

a) $y=\left | x-4 \right |-\left | x-4 \right |+x$

b) $y=\left | 4-x \right |-\left | 2-x \right |$

c) $y=\left | -x \right |-\left | 2-\frac{x}{2} \right |$

d) $y=\left | x-4 \right |+\left | x \right |-6$

Řešení

10. Rovnice funkce

Jsou dány dva body.

Určete rovnici lineární funkce procházející těmito body.

a) A[–2;–5], B[2;1]

b) A[–4;1], B[3;1]

c) A[–3;6], B[6;3]

d) A[–1;4], B[2;7]

e) A[–1;–7], B[4;3]

f) A[–1;–2], B[–1;0]

g) A[-3;6], B[0;3]

h) A[–1;–3], B[2;6]

Řešení

a) $y=\frac{3}{2}x-2$

b) $y=1$

c) $y=-\frac{x}{3}+5$

d) $y=x+5$

e) $y=2x-5$

f) nemá řešení

g) $y=-x+3$

h) $y=3x$

11. Vlastnosti funkce

Je dána funkce f: $y = 2x+3$

Určete:

a) definiční obor funkce f

b) obor hodnot funkce f

c) průsečík grafu funkce f s osou y (pokud existuje)

d) průsečíky grafu funkce f s osou x (pokud existují)

e) zda je funkce f sudá nebo lichá

f) v kterých intervalech funkce f roste

g) v kterých intervalech funkce f klesá

h) zda je funkce f prostá

i) inverzní funkci k funkci f

j) načrtněte graf funkce

Řešení

a) Definiční obor funkce je $D_{f}=R$

b) Obor hodnot funkce je $H_{f}= R$

c) Průsečík s osou y je $P_{y} \left [0;3 \right ]$

d) Průsečík s osou x je $P_{x} \left [-\frac{3}{2};0 \right ]$

e) Funkce f není ani sudá ani lichá

f) Funkce f je rostoucí v intervalu $\left ( -\infty; \infty \right )$

g) Funkce f není klesající.

h) Funkce f je prostá.

i) Inverzní funkce k funkci f je $y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}.$

12. Vlastnosti funkce

Je dána funkce f: $y = \frac{1}{2}x-2$

Určete:

a) definiční obor funkce f

b) obor hodnot funkce f

c) průsečík grafu funkce f s osou y (pokud existuje)

d) průsečíky grafu funkce f s osou x (pokud existují)

e) zda je funkce f sudá nebo lichá

f) v kterých intervalech funkce f roste

g) v kterých intervalech funkce f klesá

h) zda je funkce f prostá

i) inverzní funkci k funkci f

j) načrtněte graf funkce

Řešení

a) Definiční obor funkce je $D_{f}=R$

b) Obor hodnot funkce je $H_{f}= R$

c) Průsečík s osou y je $P_{y} \left [0;-2 \right ]$

d) Průsečík s osou x je $P_{x} \left [4;0 \right ]$

e) Funkce f není ani sudá ani lichá

f) Funkce f je rostoucí v intervalu $\left ( -\infty; \infty \right )$

g) Funkce f není klesající.

h) Funkce f je prostá.

i) Inverzní funkce k funkci f je $y=2x+4.$

13. Body kvadratické funkce

Je dána funkce $y = x^2 - 4x + 3$ .

Určete všechna reálná čísla z tak, aby platilo g(x) = g(-2).

Řešení

x = –2 a x = 6

14. Graf lineární funkce

Načrtněte graf funkce

a) $y = -2x + 3$

b) $y = -\frac{1}{2}x + 1$

c) $y = \frac{1}{2}x + 1$

d) $y = \frac{3}{2}x - 1$

Řešení

15. Body náležící kvadratické funkci

Jsou dány body A[0;-6], B[2;-4] a C[3;6]. Tyto body náleží kvadratické funkci.

Určete obecnou rovnici této kvadratické funkce.

Řešení

$y = 3x^{2}-5x-6$

16. Kvadratická funkce

Je dána kvadratická funkce f: $y = x^2-2x-8$

Určete:

a) definiční obor funkce f

b) obor hodnot funkce f

c) průsečík grafu funkce f s osou y (pokud existuje)

d) průsečíky grafu funkce f s osou x (pokud existují)

e) vrchol paraboly

f) zda je funkce f sudá nebo lichá

g) v kterých intervalech funkce f roste

h) v kterých intervalech funkce f klesá

i) zda je funkce f prostá

j) inverzní funkci k funkci f

k) načrtněte graf paraboly

Řešení

a) Definiční obor funkce je $D_{f}=R$

b) Obor hodnot funkce je $H_{f}= \left \langle -9; \infty \right )$

c) Průsečík s osou y je $P_{y} \left [0;-8 \right ]$

d) Průsečíky s osou x jsou $P_{x1} \left [-2;0 \right ]; P_{x2} \left [4;0 \right ]$

e) Vrchol paraboly je $V \left [1;-9 \right ]$

f) Funkce f není ani sudá ani lichá

g) Funkce f je rostoucí v intervalu $\left ( 1; \infty \right )$

h) Funkce f je klesající v intervalu $\left ( -\infty; 1 \right )$

i) Funkce f není prostá.

j) Inverzní funkce k funkci f neexistuje.

17. První stupeň školy

Ve škole je na 1. stupni p prvňáků. Druháků je o 18 % méně než prvňáků. Třeťáků je o 7 více než druháků a čtvrťáků je dvakrát více než prvňáků a druháků dohromady.

Vyjádřete výrazem počet žáků na 1. stupni a výraz zjednodušte.

Řešení

Na prvním stupni je 6.28p+7 žáků.

funkce, zobrazení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení

Řešení