Matikář - kategorie úloh

Úlohy: 41–60 / 114

Po skončení schůzky si všichni přítomní potřásli každý s každým rukou – celkem 105krát.

Vypočítejte, kolik lidí bylo na schůzce.

Řešení

Na schůzce bylo 21 lidí.

42. Neznámý zlomek

Je dán zlomek, jehož jmenovatel je o 2 větší než jeho čitatel. Když čitatele i jmenovatele tohoto zlomku zvětšíme o 7, obdržíme zlomek $\frac{5}{6}$ .

Určete základní tvar hledaného zlomku.

Řešení

Čitatel hledaného zlomku je 3 a jmenovatel hledaného zlomku je 5.

43. Společný nákup

Milena a Ema zaplatily za společný nákup 2 460 Kč. Milena však zaplatila pětkrát více než Ema.

Vypočítejte, kolik Kč zaplatila za nákup Milena a kolik Ema.

Řešení

Milena zaplatila 2 050 Kč a Ema zaplatila 410 Kč.

Mistr s učněm pokládají tašky na střechu. Na konci práce zjistili, že učeň udělal jen třetinu práce a zbytek mistr. Pokud by mistr pracoval sám, trvala by mu práce o 2 hodiny déle, než kdyby pracovali společně. Pokud by pracoval sám učeň, trvala by mu práce o 8 hodin déle, než kdyby pracovali společně.

Vypočítejte, za jak dlouho by práci provedl samotný mistr a za jak dlouho samotný učeň.

Řešení

Sám mistr by provedl práci za 6 hodin, sám učeň by provedl práci za 12 hodin.

45. Navážení písku

Tři nákladní auta postupně odvezla 222 tun písku. Druhá auto odvezlo o 20 % více než první auto a třetí auto o 25 % více než druhé auto.

Vypočítejte, kolik tun písku odvezlo každé auto.

Řešení

První nákladní auto odvezlo 60 tun písku, druhé nákladní auto odvezlo 72 tun písku a třetí nákladní auto odvezlo 90 tun písku.

46. Neznámé číslo

Když vynásobím dvě stejná přirozená čísla, dostanu stejný výsledek, jako když je sečtu.

Určete, o které číslo jde.

Řešení

Jde o číslo 2.

47. Linkový autobus

Linkový autobus jezdí mezi místy A a B. Jestliže zvýší svoji průměrnou rychlost o 5 km/h, zkrátí se jízdní doba o 20 minut. Sníží-li svou původní rychlost o 4 km/h, prodlouží se doba jízdy o 20 minut.

Vypočítejte:

a) jaká je průměrná rychlost autobusu,

b) jaká je jízdní doba autobusu,

c) jaká je délka jeho trasy.

Řešení

a) Průměrná rychlost autobusu je 40 km/hod.

b) Jízdní doba autobusu je 3 hodiny.

c) Délka trasy je 120 kilometrů.

48. Obsahy trojúhelníků

Obsah pravoúhlého trojúhelníku KLM s pravým úhlem u vrcholu L je S = 60 cm² a jeho odvěsna |LM|=10 cm. Trojúhelníky KLM a RST jsou podobné, poměr podobnosti je k = 2,5.

Vypočítejte obsah trojúhelníku RST.

Řešení

Obsah trojúhelníku RST je 375 cm².

49. Průměry tří čísel

Jsou dána tři navzájem různá čísla. Průměr průměru dvou menších čísel a průměr dvou větších čísel je roven průměru všech tří čísel. Průměr nejmenšího a největšího čísla je 2 022

Určete součet tří daných čísel.

Řešení

Součet tří daných čísel je 6 066.

50. Body kvadratické funkce

Je dána funkce $y = x^2 - 4x + 3$ .

Určete všechna reálná čísla z tak, aby platilo g(x) = g(-2).

Řešení

x = –2 a x = 6

51. Výroba másla

Průměrně se ze 100 litrů mléka vyrobí 16 litrů smetany a ze 100 litrů smetany se vyrobí 20 litrů másla.

Vypočítejte, kolik litrů mléka je potřeba na výrobu 100 litrů másla.

Řešení

Na výrobu 100 litrů másla je potřeba 3 125 litrů mléka.

52. Jahody a maliny

Maminka s babičkou šly nakoupit na trh. Maminka koupila 2 kg jahod a 3 kg malin a platila 540 Kč. Babička koupila o 1 kg jahod vice a o 0,5 kg malin méně než maminka a platila o 70 Kč více než ona.

Kolik stálo 1 kg jahod a 1 kg malin.

Řešení

Jeden kilogram jahod stál 120 Kč a kilogram malin stál 100 Kč.

53. Neznámé číslo

Pokud k dvojnásobku neznámého čísla připočteme 17, dostaneme 67.

Vypočítejte neznámé číslo.

Řešení

Neznámé číslo je 25.

54. Neznámé číslo

Pokud k polovině neznámého čísla připočteme 6 000 dostaneme 9 000.

Vypočítejte neznámé číslo.

Řešení

Neznámé číslo je 6 000.

55. Sčítance

Součet dvou čísel je 17 500 a první sčítanec je 7 900?

Vypočítejte druhý sčítanec.

Řešení

Druhý sčítanec je 9 600.

56. Logaritmické rovnice

Vyřešte logaritmické rovnice:

a) $\log \left (2x + 8 \right ) = 2$

b) $\log_{6} \left (2x + 8 \right ) = 2$

c) $\log_{4} \left (2x + 8 \right ) = 2$

d) $\log_{\frac{1}{3}} \left (2x + 8 \right ) = 2$

e) $\log \left (9 - x \right ) = 2$

f) $\log_{6} \left (9 - x \right ) = 2$

g) $\log_{2} \left (9 - x \right ) = 2$

h) $\log_{\frac{1}{3}} \left (9 - x \right ) = 2$

Řešení

a) $x=46$

b) $x=14$

c) $x=4$

d) $x=-\frac{71}{18}$

e) $x=-91$

f) $x=-27$

g) $x=5$

h) $x=\frac{80}{9}$

57. Pět sčítanců

Každý ze tří sčítanců je o 5 větší než předchozí. Součet všech je 78.

Vypočítejte nejmenšího z pěti sčítanců.

Řešení

Nejmenší z pěti sčítanců je 16.

58. Cyklistický závod

Cyklisté při závodě ujeli $\frac{3}{7}$ z celkové délky a do cíle jim zbývá 72 km.

Určete:

a) jak dlouhý byl závod,

b) kolik procent závodu budou mít cyklisté za sebou po ujetí 94,50 kilometrů.

Řešení

a) Závod byl dlouhý 126 kilometrů.

b) Cyklisté budou mít za sebou 75 procent závodu.

59. Z9-I-1 2022

Bolek a Lolek měli každý svou aritmetickou posloupnost. Jak Lolkova, tak Bolkova posloupnost začínala číslem 2 023 a končila číslem 3 023 Tyto dvě posloupnosti měly 26 společných čísel. Poměr Bolkovy a Lolkovy diference byl 5:2.

Vypočítejte, jaký byl rozdíl Bolkovy a Lolkovy diference.