Úlohy: 1–5 / 5

1
Přehled ročníků

1. Integrál metodou per partes

Integrujte metodou per partes:
a)   \(\int x \sin(x) \, dx\)
b)   \(\int x e^x \, dx\)
c)   \(\int \ln(x) \, dx\)
d)   \(\int x^2 \cos(x) \, dx\)
e)   \(\int x \ln(x) \, dx\)
f)   \(\int e^x \cos(x) \, dx\)
Řešení
a)   \[-x \cos(x) + \sin(x) + C\]
b)   \[x e^x - e^x + C\]
c)   \[x \ln(x) - x + C\]
d)   \[x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) - 2 \sin(x) + C\]
e)   \[\frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C\]
f)   \[\frac{1}{2} e^x (\cos(x) - \sin(x)) + C\]

2. Plocha pod křivkou

Najděte obsah plochy pod křivkou:
a)   \( f(x) = 0.3x^2 + 0.2x - 0.2 \) v intervalu od \( x = 1 \) do \( x = 4 \),
b)   \( f(x) = e^{-x} + 2 \) v intervalu od \( x = 0 \) do \( x = 2 \).
Řešení
a)   Obsah plochy je \( 7.2 \) jednotek čtverečních.
b)   Obsah plochy je přibližně \( 4.8647 \) jednotek čtverečních.

3. Neurčitý integrál

Najděte určitý neurčitý integrál:
a)   \[ \int x \cdot e^x \, dx \]
b)   \[ \int \ln(x) \, dx \]
c)   \[ \int x \cdot \cos(x) \, dx \]
d)   \[ \int x \cdot \ln(x) \, dx \]
e)   \[ \int x \cdot \sin(x) \, dx \]
f)   \[ \int x^2 \cdot e^x \, dx \]
Řešení
a)   \[ \int x \cdot e^x \, dx = e^x (x - 1) + C \]
b)   \[ \int \ln(x) \, dx = x (\ln(x) - 1) + C \]
c)   \[ \int x \cdot \cos(x) \, dx = x \cdot \sin(x) + \cos(x) + C \]
d)   \[ \int x \cdot \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \cdot \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C \]
e)   \[ \int x \cdot \sin(x) \, dx = -x \cdot \cos(x) + \sin(x) + C \]
f)   \[ \int x^2 \cdot e^x \, dx = e^x (x^2 - 2x + 2) + C \]

4. Primitivní funkce

Určete primitivní funkci:
a)   
b)   
c)   
d)   
Řešení
a)   
b)   
c)   
d)   

5. Primitivní funkce

Určete primitivní funkci:
a)   
b)   
c)   
d)   
Řešení
a)   
b)   
c)   
d)   
 
1